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如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.
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如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.
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答案和解析
证明:过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF,
∵BP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥AC,
∴PD=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵CP是△ABC的外角平分线,PE⊥AC,PF⊥BC,
∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴PD=PE,PD⊥AD,PE⊥AC,
∴AP为∠MBN的平分线(在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上).
∵BP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥AC,
∴PD=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵CP是△ABC的外角平分线,PE⊥AC,PF⊥BC,
∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴PD=PE,PD⊥AD,PE⊥AC,
∴AP为∠MBN的平分线(在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上).
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