在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．（1）若∠A=30°，求线段CE的长；（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．

（1）若∠A=30°，求线段CE的长；
（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若CE=1，求BC的长．

Answer 1

（1）连接BE，点D是AB中点且DE⊥AB，
∵∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE=∠BAE=30°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
又∵∠C=90°，∴CE=(1)/(2)BE=(1)/(2)AE，
∵AC=6，∴BE=AE=4，CE=(1)/(2)BE=(1)/(2)×4=2
答：线段CE的长为2；

（2）连接BE，则AE=BE=6-y，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+y²=（6-y）²，
解得y=3-(x2)/(12)，
得y=3-(x2)/(12)≥0，解得（0<x≤6）
答：y关于x的函数解析式是y=3-(x2)/(12)；定义域是0<x≤6．

（3）当点E在线段AC上时，由（2）得1=3-(x2)/(12)，
解得x=2√(6)（负值已舍）
当点E在AC延长线上时，AE=BE=7，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+1²=7²．
解得x=4√(3)（负值已舍）．
综上所述，满足条件的BC的长为2√(6)，4√(3)．
答：若CE=1，BC的长为2√(6)和4√(3)．