如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上（1）求证：AE2+AD2=2AC2；（2）如图2，若AE=2，AC=25，点F是AD的中点，直接写出CF

Question

如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上
（1）求证：AE²+AD²=2AC²；
（2）如图2，若AE=2，AC=2 √(5)，点F是AD的中点，直接写出CF的长是___．

Answer 1

（1）证明：连结BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．
∵∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC

∠ACE=∠BCD

AE=CD

，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，
∴∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，
在Rt△ADB中．∵AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．

（2） 由（1）得：CE=CD，AE²+AD²=2AC²；
∴∠E=∠CDA，2²+AD²=2×（2√(5)）²，
解得：AD=4，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=2=AE，
∴EF=DA，
在△CEF和△CDA中，

CE=CD

∠E=∠CDA

EF=DA

，
∴△CEF≌△CDA（SAS），
∴CF=CA=2√(5)；
故答案为：2√(5)．