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直线与曲线相切的定义是什么?直线与曲线只有一个公共点是否就能证明直线与曲线相切?比如任何一条垂直与X轴的直线都是y=x^2的切线.
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直线与曲线相切的定义是什么?直线与曲线只有一个公共点是否就能证明直线与曲线相切?比如任何一条垂直与X轴的直线都是y=x^2的切线.
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答案和解析
切线当然不能定义为只与曲线有一个公共点的直线,你说的那个就是很好的反例.首先切线不一定只与曲线有唯一公共点,它只要求在该点的某个邻域内只与曲线有唯一公共点,在大范围内,可以有多个交点的.切线的直观几何意义就是在一点处和曲线方向相同的直线,但是“曲线方向”是什么意思呢,我们只能说曲线方向是曲线在该点切线的方向,这样的循环定义是没有意义的.通常切线都是借助极限思想来定义的,设P0为曲线上某一定点,再在曲线上取一点P,过P和P0可以做一条曲线的割线,现在让P无限靠近P0,这时割线PP0通常都有一极限位置,这一极限位置就定义为曲线在P0点的切线.如果一定要给切线一个初等定义（不用极限概念）,我认为可以这样定义：在给定点的某个邻域内,直线与曲线只有一个公共点,并且在这个邻域内,曲线都位于该直线的同一侧.
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