关于矩阵的证明设A,B分别是为m*n,n*t矩阵,求证：（1）若r(A)=n,则r(AB)=r(B)(2)若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

Question

关于矩阵的证明
设A,B分别是为m*n,n*t矩阵,求证：
（1）若r(A)=n,则r(AB)=r(B)
(2)若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

Answer 1

（1）用这个来证: 同解的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相同证明.
1. 证明: 显然BX=0的解都是ABX=0的解.
设X1是ABX=0的解, 则 ABX1=0
即BX1是AX=0的解.
由于 r(A)=n, 知 AX=0 只有零解
所以有 BX1=0
即 X1 是BX=0的解.
所以 BX=0 与 ABX=0 同解.
所以 它们的基础解系所含的向量个数相同
即有 t-r(B) = t-r(AB)
所以 r(AB)=r(B).
2. 考虑 AB 的转置 B^TA^T
因为 r(B^T)=r(B)=N,
由1知 r(B^TA^T) = r(A^T) = r(A)
所以 r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)=r(A).
（2）或者用结论：r(A)+r(B)-n<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}
r(A)=n；所以r(B)<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}<=r(B)
也就有r(AB)=r(B)