证明:椭圆中,交点三角形面积S=b平方tan(α/2).

Question

证明:椭圆中,交点三角形面积 S=b平方tan(α/2).

Answer 1

设
|PF1|=d1
|PF2|=d2
∠F1PF2=α
|F1F2|^2=4c^2=d1^2+d2^2-2d1*d2cosα
4c^2=(d1+d2)^2-2d1*d2-2d1*d2cosα
4c^2=4a^2-2d1*d2(1+cosα)
4(c^2-a^2)= -4 d1*d2cos^2(α)
-b^2= - d1*d2cos^2(α)
b^2= d1*d2cos^2(α)
S=(1/2)d1*d2*sinα=(1/2)d1*d2[2sin(α/2)cos(α/2)]
而d1*d2=b^2/cos^2(α/2)
所以,
S=b^2tan(α/2)