求曲线方程设曲线的方程为y=f(x),已知在曲线的任意点(x,y)处满足y"=6x,且在曲线上的(0,-2)点处的曲线的切线的方程为2x-3y=6,求此曲线的方程

Question

求曲线方程
设曲线的方程为y=f(x),已知在曲线的任意点(x,y)处满足y"=6x,且在曲线上的(0,-2)点处的曲线的切线的方程为2x-3y=6,求此曲线的方程

Answer 1

∵点(0,-2)在曲线y=f(x)上
∴当x=0时,y=-2,(1)
∵在曲线上的(0,-2)点处的曲线的切线的方程为2x-3y=6
又2x-3y=6 ==>y=(2/3)x-2
==>切线方程的斜率=2/3
∴当x=0时,y'=2/3.(2)
∵在曲线的任意点(x,y)处满足y"=6x
∴y'=3x²+C1 (C1是积分常数)
∵由条件(2)得 C1=2/3
∴y'=3x²+2/3 ==>y=x³+2x/3+C2 (C2是积分常数)
∵由条件(1)得 C2=-2
∴y=x³+2x/3-2
故此曲线的方程是y=x³+2x/3-2.