线性代数题设四元非齐次线性方程组AX=b有3个解n1,n2,n3,且R(A)=3,n1=(2,3,4,5),n2+n3=(1,2,3,4).求该线性方程组AX=b的通解.按照An1=b,An2=b,An3=b..AX=0的基础解系是(-1,-4,-5,-2).然后呢?AX=b的通解是x=k(-1,-4,-5,-2)+(

Question

线性代数题
设四元非齐次线性方程组AX=b有3个解n1,n2,n3,且R(A)=3,n1=(2,3,4,5),n2+n3=(1,2,3,4).求该线性方程组AX=b的通解.
按照An1=b,An2=b,An3=b..AX=0的基础解系是(-1,-4,-5,-2).然后呢?AX=b的通解是x=k(-1,-4,-5,-2)+(a1,a2,a3,a4）,把n1代入x又解不出（a1,a2,a3,a4)和k

Answer 1

非齐次线性方程组的任意两个解的差是对应的齐次线性方程组的解；
齐次线性方程组的任意两个解的和、差还是解.

所以n1-n2与n1-n3都Ax=0的解,所以n1-n2+n1-n3=2n1-(n2+n3)=(3,4,5,6)'是Ax=0的解,且是基础解系,所以Ax=0的通解是x=k(3,4,5,6)'.
根据Ax=b的通解的结构,Ax=b的通解是Ax=b的一个解与Ax=0的通解的和,所以Ax=b的通解是x=n1+k(3,4,5,6)'=(2,3,4,5)+k(3,4,5,6)'.
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这里'代表转置.
这里Ax=b自身的一个解也可以选择(n2+n3)/2或者(n1+n2+n3)/3等,有无穷多种选择