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设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题:①对任意实数x,都有x-1<[x]≤x;②对任意实数x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;④若函数f(x)=[x•[
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设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题: ①对任意实数x,都有x-1<[x]≤x; ②对任意实数x,y,都有[x+y]≤[x]+[y]; ③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90; ④若函数f(x)=[x•[x]],当x∈[0,n)(n∈N * )时,令f(x)的值域为A,记集合A的元素个数为a n ,则
其中所有真命题的序号是______. |
▼优质解答
答案和解析
对于①,对任意实数x,都有x-1<[x]≤x,满足新定义,∴①正确. 对于②,对任意实数x,y,例如x=-0.1,y=-0.1,[x+y]=-1,[x]+[y]=-2;都有[x+y]≤[x]+[y];不正确,∴②错误. 对于③,[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100] =[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100] =0+1×90+2=92,∴③不正确. 对于④,根据题意:[x]=
∴x[x]=
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是:1,1,2,3,…,n ∴a n =
∴
∴④正确. 故答案为:①④. |
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