在三角形abc中,角ABC的的对边分别为abc且a＝1,A＝60°若三角形有两解,则b的取值范围为

Question

在三角形abc中,角ABC的的对边分别为abc且a＝1,A＝60°若三角形有两解,则b的取值范围为

Answer 1

我们首先来看为什么b会有取值范围.显然,A的对边BC是a,那么B的对边AC就是b.我们首先画好角A=60°,然后在角A的随便一条边上选一个C点.那么,C点的位置虽然很多,但可以被分为三类.

第一类,过C点作垂线垂直于角A的另一条边,垂线段长度≥1.

假如C在这种位置,因为a也就是BC=1,如何寻找B点呢?显然是以C为圆心,以1为半径画圆弧,和角A的另一条边的交点就是B点,有一个算一个,有两个算两个,一个没有那就算了.

如果垂线段长度≥1,要么能找到一个,就是当垂线段长度=1的时候,圆弧和角A另一条边相切与垂足,也就是B点；如果垂线段长度>1,B点干脆就是不存在的.显然在这种情况下,三角形要么无解要么只有一解.

第二类,过C点作垂线垂直于角A的另一条边,垂线段长度<1.

按照前面的解释,这时候三角形终于有两解了,图中用绿色线表示出了边a的位置,和角A另一条边的交点就是B点,可以有两个位置.那么此时我们可以计算一下使得垂线段长度=1的C点的位置,AC长度也就是b只要小于这个值,暂时就可以使三角形有两解了.

垂线段长度=1时,直角三角形一个角是60°,对边长度为1,斜边长度很好求,应该是(2√3)/3,所以b<(2√3)/3.

第三类,CA=b=1.

这个时候垂线段长度仍然<1,按说三角形也有两解,但是注意到此时可选的一个B点已经和A重合,三角形退化为一条线段.如果这时C点更接近A点,只会导致点B出现在角A一条边的反向延长线上,因此此时三角形又只有一个解了.所以b>1.

因此,1<b<(2√3)/3.