已知Rt△ABC，∠B=90°，直线EF分别于两直角边AB、AC交于E、F两点，且EF∥AC．P是斜边AC的中点，连接PE、PF，且已知AB=65，BC=85．（1）如图1，当E、F均为两直角边中点时，求证：四边形EPFB是矩形

Question

已知Rt△ABC，∠B=90°，直线EF分别于两直角边AB、AC交于E、F两点，且EF∥AC．P是斜边AC的中点，连接PE、PF，且已知AB=(6)/(5)，BC=(8)/(5)．
（1）如图1，当E、F均为两直角边中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长．
（2）如图2，设EF的长度为x（x＞0），当sin∠EPF=(4)/(5)（∠EPF为锐角）时，用含x的代数式表示EP的长度．
（3）记△PEF 的面积为S，则当EP为多少时，S的值最大，并求出该最大值．

Answer 1

如图1，

∵E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP∥BC，且EP=(1)/(2)BC，
∵F是BC的中点，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四边形EPFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
∵AB=(6)/(5)，BC=(8)/(5)．
∴BE=(3)/(5)，BF=(4)/(5)，
∴EF=√(((3)/(5))2+((4)/(5))2)=1．
（2）如图2，

∵sinA=(BC)/(AC)=((8)/(5))/(2)=(4)/(5)，sin∠EPF=(4)/(5)，
∴∠A=∠EPF，
∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，
∴△APE∽△PEF．
∴(AP)/(EP)=(EP)/(EF)，
∵AP=1，EP=x，
∴EP²=x，
∴EP=√(x)．
（3）如力图3，作FH⊥AC交AC于点H，

∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设EF=x，则BF=(4)/(5)x，CF=(8)/(5)-(4)/(5)x，
∴FH=(3)/(5)CF=(24)/(25)-(12)/(25)x，
∴S=(1)/(2)EF•FH=-(6)/(25)x²+(12)/(25)x=-(6)/(25)（x-1）²+(6)/(25)
∴当x=1时，S最大为(6)/(25)，
∵EF=1
∴此时点E，F为中点，
∴EP=(1)/(2)BC=(4)/(5)．