已知一个矩形纸片ABCD，AB=12，BC=6，点E为DC边上的动点（点E不与点D、C重合），经过点A、E折叠该纸片，得点D′和折痕AE，经过点E再次折叠纸片，使点C落在直线ED′上，得点C′和折痕EF．当点

Question

已知一个矩形纸片ABCD，AB=12，BC=6，点E为DC边上的动点（点E不与点D、C重合），经过点A、E折叠该纸片，得点D′和折痕AE，经过点E再次折叠纸片，使点C落在直线ED′上，得点C′和折痕EF．当点C′恰好落在边AB上时，DE的长为______．

Answer 1

设DE=x，则CE=CD-DE=AB-DE=12-x，
由翻折的性质得，∠AED=∠AEC′，∠CEF=∠C′EF，
∴∠AED+∠CEF=(1)/(2)×180°=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴(AD)/(CE)=(DE)/(CF)，
即(6)/(12−x)=(x)/(CF)，
解得CF=(x(12−x))/(6)，
∴BF=BC-CF=6-(x(12−x))/(6)=((6−x)2)/(6)，C′D′=C′E=D′E=12-x-x=12-2x，
由翻折的性质，∠AD′C′=∠EC′F=90°，
∴AD′∥C′F，
∴∠C′AD′=∠BC′F，
又∵∠AD′C=∠B=90°，
∴(AD′)/(BC′)=(C′D′)/(B′F)，
即(6)/(BC′)=(12−2x)/(((6−x)2)/(6))，
解得BC′=(6−x)/(2)，
∴AC′=12-(6−x)/(2)=(18+x)/(2)，
在Rt△AC′D′中，AD′²+C′D′²=AC′²，
即6²+（12-2x）²=（(18+x)/(2)）²，
整理得，5x²-76x+132=0，
解得x₁=2，x₂=(66)/(5)（舍去），
故，DE=2，

当点E为CD的中点时，C′、D′、F三点重合，为AB的中点，
此时DE=(1)/(2)×12=6，
综上所述，DE的长为2或6．
故答案为：2或6．