（2014•宿迁模拟）如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．（1）求出r与h满足的关系

Question

（2014•宿迁模拟）如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π．设圆锥纸筒底面半径为r，高为h．
（1）求出r与h满足的关系式；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时(h)/(r)的值．

Answer 1

（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=(1)/(3)πr2h，
由该圆锥纸筒的容积为π，则(1)/(3)πr2h=π，即r²h=3，
故r与h满足的关系式为r²h=3；                                …（4分）
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，
设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=√(r2+h2)，
所以S=πr√(r2+h2)=π√((r2+h2)r2)=π√(((3)/(h)+h2)(3)/(h))=π√((9)/(h2)+3h)，（h＞0 ），…（8分）
设f（h）=(9)/(h2)+3h （h＞0 ），
由f′（h）=−

作业帮用户 2017-10-30 举报

问题解析

（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=

(18)/(h3)(1)/(3)πr2h，进而由圆锥纸筒的容积为π，得到r与h满足的关系式；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，求出圆锥侧面积的表达式，利用导数法，求出h=

3

6

时S最小，进而得到答案．

名师点评

本题考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评：

本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，是立体几何与导数的综合应用，难度中档．

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