已知矩形ABCD，AB=8，BC=4，将它绕着点B按顺时针方向旋转α度（0<α≤180）得到矩形A1BC1D1，此时A1B，C1D1这两边所在的直线分别与CD边所在的直线相交于点P、Q，当DP：DQ=1：2时，DP的长为．

Question

已知矩形ABCD，AB=8，BC=4，将它绕着点B按顺时针方向旋转α度（0<α≤180）得到矩形A₁BC₁D₁，此时A₁B，C₁D₁这两边所在的直线分别与CD边所在的直线相交于点P、Q，当DP：DQ=1：2时，DP的长为___．

Answer 1

情况一：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥C′D′；
则四边形PMBC、四边形PBC′N均是矩形，
∴∠PNQ=∠PMB=∠CPM=∠C′NP=90°；
PM=BC=BC′=PN；
∴∠BPM=90°-∠BPC=∠QPN；
在△BPM与△QPN中，

∠MPB=∠NPQ

PM=PN

∠PMB=∠PNQ

，
∴△BPM≌△QPN，
∴PB=PQ；而DP：DQ=1：2，
∴DP=PQ=PB；设DP=λ，
则PB=λ，CP=8-λ；在Rt△BCP中，
PB²=PC²+BC²，
即λ²=（8-λ）²+4²，
解得：λ=5，即DP=5，

情况二：如图

同理求得DP=1+√(11)，DP=1-√(11)（舍去）
故答案为5或1+√(11)．