在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N,BD是AC上的高,则PM+PN=?变形：矩形ABCD中,PM⊥BD,PN⊥AC,若AB=3,BC=4,则PM+PN=?

Question

在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N,BD是AC上的高,则PM+PN=?
变形：矩形ABCD中,PM⊥BD,PN⊥AC,若AB=3,BC=4,则PM+PN=?

Answer 1

【1】连接AP
SΔAPC=½AC·PN
SΔAPB=½AB·PM
SΔABC=½AC·BD
SΔABC=SΔAPB+SΔAPC
½AC·BD=½AB·PM+½AC·PN
∵AB=AC
∴PM+PN=BD
【2】矩形对角线的交点为O,连接PO.
SΔBOC=¼S矩形ABCD=3
BD=5
BO=CO=5/2
SΔBOP=½BO·PM=5PM/4
SΔCOP=½CO·PN=5PN/4
SΔBOC=SΔBOP+SΔCOP
3=5PM/4+5PN/4
∴PM+PN=12/5