直角三角形ABC,角BAC等90度,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直BM,垂足为点M,交BC与点D,连接DM,求证：∠AMB=∠DMC

Question

直角三角形ABC,角BAC等90度,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直BM,垂足为点M,交BC与
点D,连接DM,求证：∠AMB=∠DMC

Answer 1

作∠BAC的平分线AG,交BM于G．在△AGB与△CDA中, 
因为AB=CA,∠BAG=∠ACD=45°, 
　　由于,在Rt△MAB中,AE⊥BM,所以∠ABM=∠EAM=∠CAD． 
所以△AGB≌△DCA(ASA), 
　　于是 AG=CD． 
　　在△AMG与△CMD中,有AM=MC,∠GAM=∠DCM=45°,AG=CD． 
　　所以 △AMG≌△CMD,从而 ∠AMB=∠DMC．