如图，菱形ABCD中，∠A=60°，连接BD，∠PBQ=60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD，CD分别于点E、F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数）（1）△ABD和△CBD都是三角形

Question

如图，菱形ABCD中，∠A=60°，连接BD，∠PBQ=60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD，CD分别于点E、F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数）

（1）△ABD和△CBD都是___三角形；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF的面积是否变化，若不变，求出其面积的值（用a表示）；若变化，请说明理由．
（4）若a=3，设△DEF的周长为m，直接写出m的取值范围．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°
∴△ABD和△CBD都是等边三角形；
故答案为：等边；

（2）△BEF是等边三角形，
理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC
∵∠EBF=60°，
∴∠EBD=∠CBF，
在△BDE与△BCF中，

∠BDE=∠C

BD=BC

∠DBE=∠CBF

，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，
∴△BEF是等边三角形；

（3）不变，
理由：∵△ABD是等边三角形，AB=a，
∴AB边上的高=(√(3))/(2)a，
∴S_△ABD=(√(3))/(4)a²，
∵△BDE≌△BCF，
∴S_{四边形BFDE}=S_△ABD=(√(3))/(4)a²，
∴在运动过程中，四边形BEDF的面积不变化；

（4）∵△BDE≌△BCF，
∴DE=CF，
∴DF+DE=DF+CF=3，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵BF<3，
∴△DEF的周长<6，
当BF⊥CD时，BF=(3√(3))/(2)，
∴△DEF的周长=3+(3√(3))/(2)，
∴m的取值范围是3+(3√(3))/(2)≤m<6．