已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（

Question

已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF²=AG•DF；
（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AEB=∠AFD．
在△AEB和△AFD中，

∠B=∠D

∠AEB=∠AFD

AE=AF

，
∴△AEB≌△AFD（AAS）
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．
如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE=∠G，
∴∠G=∠DAF．
又∵∠ADF=∠GDA，
∴△GAD∽△AFD，
∴DA：DF=DG：DA，
∴DA²=DG•DF．
∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，
∴DG=AG．
又∵AD=AF，
∴AF²=AG•DF；
（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，
∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，
∴AH：HG=EH：AH．
∵HE=4，EG=12，
∴AH：16=4：AH，
∴AH=8．