（2015•赤峰模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）求三棱锥C-A1B1C1的体积．

Question

（2015•赤峰模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=45°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，AC=5，AB=4，BC=3，
满足AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴CB⊥BB₁，
又BB₁⊂平面AA₁B₁B，AB⊂平面AA₁B₁B，BB₁∩AB=B，
∴CB⊥平面AA₁B₁B，
又∵AB₁⊂平面AA₁B₁B，∴CB⊥AB₁，
又∵四边形A₁ABB₁为菱形，∴AB₁⊥A₁B，
又CB⊂平面AA₁B₁B，A₁B⊂平面A₁BC，CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC．
（2）过B作BD⊥A₁B₁于D，
由（1）得CB⊥平面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥平面AA₁B₁B，∴C₁B₁⊥BD，
∴BD⊥平面A₁B₁C₁，
由题设知BD=2√(2)，
V C−A1B1C1=(1)/(3)×(1)/(2)A1B1•B1C1•BD=(1)/(3)×(1)/(2)×4×3×2√(2)＝4√(2)，
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积为4√(2)．