几何难题来了，高分以平行四边形ABCD的邻边BC、CD为边向平行四边形外部外作两个等边△BCM、△DCN，连接AM和AN.求证:△AMN是等边三角形

Question

几何难题来了，高分以平行四边形ABCD的邻边BC、CD为边向平行四边形外部外作两个等边△BCM、△DCN，连接AM和AN.求证:△AMN是等边三角形

Answer 1

证明： 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD 因为△BCM、△DCN是等边三角形 所以BM＝CM＝BC，CN＝DN＝CD，∠CBM＝∠BCM＝∠DCN＝∠CDN＝60° 所以∠ABD＝∠ADC 因此在△ABD和△CDA中，AD＝BM，∠ABD＝∠ADC，AB＝CD， 所以△ABD≌△CDA（SAS） 所以AM＝AN 因为AD//BC 所以∠BAD＋∠ABC＝180° 所以∠BAD＋∠ABC＋∠CBM＝240° 即∠ABM＝240°－∠BAD 因为∠MCN＝360°－∠BCD－∠DCN－∠BCM ＝360°－∠BCD－60°－60° ＝240°－∠BCD ＝240°－∠BAD 所以∠ABM＝∠MCN 所以△ABD≌△NCM（SAS） 所以AM＝MN 所以△AMN是等边三角形 江苏吴云超祝你学习进步