设PQ是抛物线y=x2上的两个动点,且OP垂直于OQ做矩形,以OP,OQ为邻边做矩形OPRQ,求R点轨迹方程

Question

设PQ是抛物线y=x2上的两个动点,且OP垂直于OQ做矩形,以OP,OQ为邻边做矩形OPRQ,求R点轨迹方程

Answer 1

分析： 用向量来解比较简便.具体解法如下：
设直线op为 y = kx （k ≠ 0 ） ,则 直线 OQ 为 y = - 1/k x
于是 P 为 （ k, k²） Q为 （ - 1/k , 1/ k² ）,设 R （x , y ）
则 向量PR = （ x-k , y - k²） ,
RQ= ( x +1/k , y - 1/k² ） ,
OP= （ k, k² ） ,
OQ = （ -1/k ,1/ k² )
依题意： PR OP = 0 ,即： （x-k ）k + （y - k²）k² = 0 （1）
RQ OQ=0 ,即： （x + 1/k ）×（- 1/k) + (y - 1/k²)× 1/k² =0 （2）
由 （1） 和 （2） 消掉 k ,得 ： x ² = y +2