如图所示，在矩形ABCD中AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相

Question

如图所示，在矩形ABCD中AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB ₁ C，对角线相交于点A ₁ ；再以A ₁ B ₁ 、A ₁ C为邻边作第2个平行四边形A ₁ B ₁ C ₁ C，对角线相交于点O ₁ ；再以O ₁ B ₁ ，O ₁ C ₁ 为邻边作第3个平行四边形O ₁ B ₁ B ₂ C ₁ ；…以此类推．
（1）矩形ABCD的面积为______；
（2）第1个平行四边行OBB ₁ C的面积为______；
第2个平行四边形A ₁ B ₁ C ₁ C的面积为______；
（3）第n个平行四边形的面积为______．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=

A C 2 -A B 2

=

2 0 2 -1 2 2

=16
∴S _矩形ABCD =AB•BC=12×16=192．
故答案是：192；

（2）∵OB ∥ B ₁ C，OC ∥ BB ₁ ，
∴四边形OBB ₁ C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB ₁ C是菱形．
∴OB ₁ ⊥BC，A ₁ B= (1)/(2) BC=8，OA ₁ = (1)/(2) OB ₁ =

O B 2 - A 1 B 2

=6；
∴OB ₁ =2OA ₁ =12，
∴S _菱形OBB1C = (1)/(2) BC•OB ₁ = (1)/(2) ×16×12=96；
同理：四边形A ₁ B ₁ C ₁ C是矩形，
∴S _{矩形A1B1C1C} =A ₁ B ₁ •B ₁ C ₁ =6×8=48；
故答案是：96，48；

（3）由（2）知，
S1=192× ((1)/(2) ) 1 ，
S2=192× ((1)/(2) ) 2
…
第n个平行四边形的面积是：Sn=192× ((1)/(2) ) n （或S _n = (192)/(2n) ），
故答案是：192× ((1)/(2) ) n （或 (192)/(2n) ）．