已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0，22)B.(22，1)C.(0，12)D.(12，1)

Question

已知椭圆

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A. (0，

(√(2))/(2))

B. (

(√(2))/(2)，1)

C. (0，

(1)/(2))

D. (

(1)/(2)，1)

Answer 1

如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：
∵椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂是钝角，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂>90°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂>45°，
所以P₀O2，即b∴a²-c²2，可得a²<2c²，
∴e>(√(2))/(2)，
∵0<e<1，
∴(√(2))/(2)<e<1．
故选：B．