设锐角三角形ABC的内角A.B.C.的对边分别为abc.a=2bsinA求cosA+sinC的取值范围

Question

设锐角三角形ABC的内角A.B.C.的对边分别为abc.a=2bsinA
求cosA+sinC的取值范围

Answer 1

有正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC
又a=2bsinA
所以：2b=b/sinB→sinB=1/2
因为：三角形为锐角三角形,所以B=30°,即A+C=150°
且：0°＜A＜90 ° 0°＜150°-A＜90°得出：60°＜A＜90°
cosA+sinC=cosA+sin(150°-A)=√3sin(A+60°)
120°＜A+60°＜150°→√3/2＜√3sin(60°+A)＜3/2
即：cosA+sinC的取值范围为(√3/2,3/2)