假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点

Question

假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n（n∈N^*）次爬行小虫位于顶点A处的概率为p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并写出p_n的表达式（不要求证明）；
（2）设Sn＝p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)，试求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

（1）p₁=0，p₂=(1)/(3)，p₃=(1)/(3)（1-p₂）=(2)/(9)，p₄=(1)/(3)（1-p₃）=(7)/(27)
猜想：p_n=(1)/(4)[1-（-(1)/(3)）^n-1]
（2）Sn＝p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)
=(1)/(4)（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）+(3)/(4)[

C

1 n

（-(1)/(3)）¹+

C

2 n

（-(1)/(3)）²+…

C

n n

（-(1)/(3)）ⁿ]
=(1)/(4)（

C

0 n

+

C

1 n

+

作业帮用户 2017-11-08

问题解析

（1）根据小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，可求出p₁，p₂，p₃的值，从而可猜想出p_n的表达式；
（2）根据p_n的表达式，利用分组求和法以及二项式定理的逆用、二项式系数的和从而可求出所求．

名师点评

本题考点：

二项式系数的性质；等比数列的通项公式．

考点点评：

本题主要考查了等比数列的通项，以及二项式系数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．

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C

2 n