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已知n条线段其中任意n-1边形均可做成n-1边形,证明:可以用其中某三条线段做成一个三角形
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已知n条线段其中任意n-1边形均可做成n-1边形,证明:可以用其中某三条线段做成一个三角形
▼优质解答
答案和解析
n的范围是n≥4
当n=4时,命题显然成立
假设当n=k-1时命题成立,则
当n=k时,设这k条线段分别长为x1,x2,x3,……,xk,其中x1≤x2≤x3≤……≤xk.取x1,x2,x3,……,x(k-2),xk这k-1条线段,他们可以构成一个k-1边形等价于最长的那条线段小于其余线段之和,即x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk.现在任取k-1条线段,其中最大线段必小于等于xk,其余线段和必大于等于x1+x2+x3+……+x(k-2),故这k-1条线段必能构成一个k-1边形.
综上,“k条线段其中任意k-1条线段均可构成k-1边形”等价于“x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk”
现在考虑x(k-2),x(k-1),xk这三条线段.
若x(k-1)≥x1+x2+x3+……+x(k-3),则x(k-1)+x(k-2)≥x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk,此时x(k-2),x(k-1),xk这三条线段可构成一个三角形.
若x(k-1)<x1+x2+x3+……+x(k-3),这时是n=k-1时的情况,由归纳假设可知x1,x2,x3,……,x(k-1)中必有三条线段可构成一个三角形.
综上,当n=k时命题成立.由数学归纳法原理可知:对所有大于等于4的正整数n来说命题成立.
当n=4时,命题显然成立
假设当n=k-1时命题成立,则
当n=k时,设这k条线段分别长为x1,x2,x3,……,xk,其中x1≤x2≤x3≤……≤xk.取x1,x2,x3,……,x(k-2),xk这k-1条线段,他们可以构成一个k-1边形等价于最长的那条线段小于其余线段之和,即x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk.现在任取k-1条线段,其中最大线段必小于等于xk,其余线段和必大于等于x1+x2+x3+……+x(k-2),故这k-1条线段必能构成一个k-1边形.
综上,“k条线段其中任意k-1条线段均可构成k-1边形”等价于“x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk”
现在考虑x(k-2),x(k-1),xk这三条线段.
若x(k-1)≥x1+x2+x3+……+x(k-3),则x(k-1)+x(k-2)≥x1+x2+x3+……+x(k-2)>xk,此时x(k-2),x(k-1),xk这三条线段可构成一个三角形.
若x(k-1)<x1+x2+x3+……+x(k-3),这时是n=k-1时的情况,由归纳假设可知x1,x2,x3,……,x(k-1)中必有三条线段可构成一个三角形.
综上,当n=k时命题成立.由数学归纳法原理可知:对所有大于等于4的正整数n来说命题成立.
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