已知n条线段其中任意n-1边形均可做成n-1边形,证明：可以用其中某三条线段做成一个三角形

Question

已知n条线段其中任意n-1边形均可做成n-1边形,证明：可以用其中某三条线段做成一个三角形

Answer 1

n的范围是n≥4
当n＝4时,命题显然成立
假设当n＝k－1时命题成立,则
当n＝k时,设这k条线段分别长为x1,x2,x3,……,xk,其中x1≤x2≤x3≤……≤xk.取x1,x2,x3,……,x（k－2）,xk这k－1条线段,他们可以构成一个k－1边形等价于最长的那条线段小于其余线段之和,即x1＋x2＋x3＋……＋x（k－2）＞xk.现在任取k－1条线段,其中最大线段必小于等于xk,其余线段和必大于等于x1＋x2＋x3＋……＋x（k－2）,故这k－1条线段必能构成一个k－1边形.
综上,“k条线段其中任意k-1条线段均可构成k-1边形”等价于“x1＋x2＋x3＋……＋x（k－2）＞xk”
现在考虑x（k－2）,x（k－1）,xk这三条线段.
若x（k－1）≥x1＋x2＋x3＋……＋x（k－3）,则x（k－1）＋x（k－2）≥x1＋x2＋x3＋……＋x（k－2）＞xk,此时x（k－2）,x（k－1）,xk这三条线段可构成一个三角形.
若x（k－1）＜x1＋x2＋x3＋……＋x（k－3）,这时是n＝k－1时的情况,由归纳假设可知x1,x2,x3,……,x（k－1）中必有三条线段可构成一个三角形.
综上,当n＝k时命题成立.由数学归纳法原理可知：对所有大于等于4的正整数n来说命题成立.