（2014•莆田质检）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．（1）若点N在BC边上时，如图1．①求证：PN

Question

（2014•莆田质检）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．

（1）若点N在BC边上时，如图1．
①求证：PN=QN；
②请问(PM)/(PN)是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；
（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值．

Answer 1

（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠A=∠ADQ，∠APM=∠DQM．
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM．
在△APM和△QDM中

∠A＝∠ADQ

∠APM＝∠DQM

AM＝DM

，
∴△APM≌△QDM（AAS），
∴PM=QM．
∵MN⊥PQ，
∴MN是线段PQ的垂直平分线，
∴PN=QN；
②(PM)/(PN)=(3)/(5)是定值
理由：作ME⊥BC于E，
∴∠MEN=∠MEB=90°，∠AME=90°，
∴四边形ABEM是矩形，∠MEN=∠MAP，
∴AB=EM．
∵MN⊥PQ
∴∠PMN=90°，
∴∠PMN=∠AME，
∴∠PMN-∠PME=∠AME-∠PME，
∴∠EMN=∠AMP，
∴△AMP∽△EMN，
∴(AM)/(EM)＝(PM)/(MN)，
∴(AM)/(AB)＝(PM)/(MN)．
∵AD=6，M是AD边的中点，
∴AM=(1)/(2)AD=3．
∵AB=4，
∴(PM)/(MN)＝(3)/(4)．
在Rt△PMN中，设PM=3a，MN=4a，由勾股定理，得
PN=5a，
∴(PM)/(PN)＝(3)/(5)；

（2）如图2，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，
∴∠BFS=∠CGT=90°，BS=(1)/(2)PN，CT=(1)/(2)QN，

∵PN=QN，S_△PBN=S_△NCQ，
∴BF=CG，BS=CT．
在Rt△BFS和Rt△CGT中

BS＝CT

BF＝CG

，
∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP=

作业帮用户 2017-11-09

问题解析

（1）①由矩形的性质证明△APM≌△QDM就可以得出PPM=QM，再由MN⊥PQ就可以得出结论；
②作ME⊥BC于E，证明△AMP∽△EMN，由相似三角形的性质既可以求出PM与MN的关系，再由勾股定理表示出PN就可以求出结论；
（2）分两种情况，如图2，如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，通过证明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN，进一步由全等三角形的性质就可以得出结论．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理了的运用，相似三角形的判定及性质的运用，垂直平分线的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．

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