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如图,已知等边△ABC的边长是2cm,将边AC沿射线BC的方向平移2cm,得到线段DE,连接AD、CE.(1)求证:四边形ACED是菱形;(2)将△ABC绕点C旋转,当CA′与DE交于一点M,CB′与AD交于一点N时,
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如图,已知等边△ABC的边长是2cm,将边AC沿射线BC的方向平移2cm,得到线段DE,连接AD、CE.
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(1)求证:四边形ACED是菱形;
(2)将△ABC绕点C旋转,当CA′与DE交于一点M,CB′与AD交于一点N时,点M、N和点D构成△DMN,试探究△DMN的周长是否存在最小值?如果存在,求出该最小值;如果不存在,请说明理由.
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(1)求证:四边形ACED是菱形;
(2)将△ABC绕点C旋转,当CA′与DE交于一点M,CB′与AD交于一点N时,点M、N和点D构成△DMN,试探究△DMN的周长是否存在最小值?如果存在,求出该最小值;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)由平移可得:
∴AD∥CE,AD=CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
又∵AD=2cm=AC,
∴□ACED是菱形;
(2)连接CD,
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∵∠ACD=∠B'CA'=60°即∠ACN+∠NCD=∠NCD+∠DCA'=60°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(ASA),
∴AN=DM,
同理,CN=CM,
∵∠NCD+∠DCM=60°,
∴△CMN是等边三角形,
∴MN=CN=CM,
则AN+DN=AD=2.
∴△DMN的周长即为DN+DM+MN=AD+CN,
当CB’⊥AD时,(CN)最小=
,即△DMN的周长的最小值是2+
.
∴AD∥CE,AD=CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
又∵AD=2cm=AC,
∴□ACED是菱形;
(2)连接CD,
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∵∠ACD=∠B'CA'=60°即∠ACN+∠NCD=∠NCD+∠DCA'=60°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
|
∴△ACN≌△DCM(ASA),
∴AN=DM,
同理,CN=CM,
∵∠NCD+∠DCM=60°,
∴△CMN是等边三角形,
∴MN=CN=CM,
则AN+DN=AD=2.
∴△DMN的周长即为DN+DM+MN=AD+CN,
当CB’⊥AD时,(CN)最小=
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