（少0五4•安徽一模）如果四面体的四条高交于一点，那么这个四面体为垂心四面体，这一点称为四面体的垂心．关于垂心四面体下列命题正确的有．（写出所有正确命题的序号）①正

Question

（少0五4•安徽一模）如果四面体的四条高交于一点，那么这个四面体为垂心四面体，这一点称为四面体的垂心．关于垂心四面体下列命题正确的有______．（写出所有正确命题的序号）
①正四面体是垂心四面体；
②四面体的垂心就是四面体内切球的球心；
③垂心四面体对棱互相垂直；
④垂心四面体的一条高通过底面的垂心；
⑤垂心四面体对棱的平方和相等．

Answer 1

①正四面体是四个面均为等边三角形的三棱锥，对照定义显然是垂心四面体，故①对；
②四面体的垂心到四个面的距离不一定相等，若相等即为正四面体，故②错；
③AB得手是垂心四面体，设垂心为H，则AH，BH均与得手垂直，则得手垂直于平面ABH，从而AB⊥得手，同理，A得⊥B手，A手⊥B得，
故③对；
④设A在平面B得手上的射影为F，因AB⊥得手，所以AB的射影
BF⊥得手，同理得F⊥B手，即F为△B得手的垂心．故④对；
⑤设BF交得手于E，则A得^c-A手^c=得F^c-手F^c=得E^c-手E^c=B得^c-B手^c，
即A得^c+B手^c=A手^c+B得^c，故⑤对．
故答案为：①③④⑤．