已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

Question

已知圆x²+y²-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

Answer 1

设A点坐标为（x₁，y₁）则B点坐标为（x₁，-y₁），设抛物线方程为y²=2px，则焦点F（(p)/(2)，0）
∵F为△AOB的垂心AF⊥OB，
∴（(p)/(2)-x₁）x₁+y₁²=0①
∵A在圆上，∴x²₁+y²₁-9x₁=0②
∵A在抛物线上，∴y²₁=2px₁，③
①②③联立方程消去x₁，y₁，求得p=2
故抛物线方程为y²=4x，