以直角三角形ABC做一个正方形BCDE,正方形的相交线为O,已知AB=4,AO=6根号2,求AC?

Question

以直角三角形ABC做一个正方形BCDE,正方形的相交线为O,已知AB=4,AO=6根号2,求AC?

Answer 1

法一：
①先求AH的值
∵∠BAC=∠BOC=90°
可证得ABCO四点共圆
可知∠OAG=∠OBC=45°
∴△AGO是等腰直角三角形
∴2AG^2=2GO^2=AO^2=(6根号2)^2=72
∴OG=AG=6
又∵△ABH∽△GOH
得AB/OG=AH/(AG-AH)
∵AB=4,OG=AG=6,
∴AH=2.4
②求GC得值
∵在RT△OHC中,HG=AG-AH=6-2.4=3.6且OG是斜边HC上的高
∴OG^2=HG*GC,
∴GC=(OG^2)/GH,而OG=6,GH=3.6
∴GC=36/3.6=10
③求AC得值
AC=AG+GC=6+10=16
法二：A,B,C,O四点共圆,BC为直径
OC=OB
所以：∠OCB=45°
∠OAB=∠OCB+∠BAC=135
三角形OAB中余弦定理：
AO^2+AB^6-2AO*AB*cos45°=OB^2
带入：OB^2=136
BC^2=2OB^2=272
AC^2=BC^2-AB^2=272-16=256
AC=16