如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：H是△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形．

Question

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：H是△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形．

Answer 1

证明：（1）连接AH并延长交BC于一点E，连接PH，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PH⊥平面ABC于H，BC⊂面ABC，∴PH⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，
∴BC⊥AE；
同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．
∴H是△ABC的垂心．  
（2）设PA=a；PB=b；PC=c，则AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=(AB2+AC2-BC2)/(2×AB×AC)=(a2+b2+a2+c2-c2-b2)/(2√(a2+b2)√(a2+c2))=(a2)/(√(a2+b2)√(a2+c2))>0，同理可证cosB>0，cosC>0，所以，△ABC是锐角三角形．