等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.与AB相交于点E,与AC相交于点F若CF=AE=2,求PE的长还有一题,三角形的垂心是三个垂足连接的三角形

Question

等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.与AB相交于点E,与AC相交于点F
若CF=AE=2,求PE的长
还有一题,
三角形的垂心是三个垂足连接的三角形的什么心?

Answer 1

（1）
设CP=x,则BP=4-x
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∵∠EPF=60°,∠EPC=60°+∠CPF=60°+∠BEP
∴∠BEP=∠CPF
∴△BEP∽△CPF
∴2/(4-x)=x/4
解得x=2或x=4
∴BP=4或2
当BP=4时,显然△BPE是等边三角形,∴PE=BP=4
当BP=2时,作PG⊥AB于点G
则BG=1,PG=√3
∴AG=4-1=3
根据勾股定理可得AP=2√3
（2）
这个垂心是垂足三角形的内心
图中有6组四点共圆,得出每条高线是垂足三角形的角平分线即可