高中数学立体几何三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC的射影为O,且向量OA+向量OB+向量OC=零向量A点在侧面PBC的射影为△PBC的垂心,PA=6,求三棱锥体积的最大值

Question

高中数学 立体几何
三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC的射影为O ,且向量OA+向量OB+向量OC=零向量
A点在侧面PBC的射影为△PBC的垂心,PA=6,求三棱锥体积的最大值

Answer 1

设△PBC垂心为H.连接AH.连接PH延长交BC于M,连接AM.在△PAM中做PN垂直于AM.
由题目中的向量OA+向量OB+向量OC=零向量条件可知O点为△ABC的重心（你画画图就一目了然了,而且这是个重要性质,常用到）.又因为PM⊥BC,且AH⊥BC（AH⊥面PBC）,所以BC⊥面PAM.所以BC⊥PN.又因为PN⊥AM,所以PN⊥面ABC,所以N与O点重合.因为BC⊥面PAM,所以AM⊥BC,即AM既是BC边垂线又是BC边中线,所以AB=AC.因为M为BC中点,所以PM也是其中线,所以PB=PC.
设PB=PC=a,MB=MC=b,所以PM=根号下（a^2-b^2）.连接BH延长交PC于K.则BK为高线.根据△BMH∽△PCM可求出MH=b^2/根号下（a^2-b^2）.在△PAM中,有△AMH∽△PMO,又因为AO=2OM.所以AM/PM=MH/OM.可求出AM=（根3）b/3.这样因为PA=6,且AO=（2根3）b/3,所以PO=根号下（36-4b^2/3）.这样三棱锥体积为PO*AM*BC/6=根号下（36-4b^2/3）*（根3）b*2b/6=根号下【（36-4b^2/3）*(2b^2/3)*(2b^2/3)】*（根3）/2=我花了近一个小时才演算完,再多给点分吧!
你们高中平时做的题有这么难的嘛?