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已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角.求证:PD2=AD•HD.
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已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角.
求证:PD2=AD•HD.
求证:PD2=AD•HD.
▼优质解答
答案和解析
如图,连接CH并延长交AB于E.
则CE⊥AB,
∴Rt△ABD∽Rt△CHD,
∴AD:CD=BD:HD,
∴AD•HD=BD•CD,
又△BPD∽△PCD,
∴BD:PD=PD:CD,
∴PD2=BD•CD,
∴PD2=AD•HD.
则CE⊥AB,
∴Rt△ABD∽Rt△CHD,
∴AD:CD=BD:HD,
∴AD•HD=BD•CD,
又△BPD∽△PCD,
∴BD:PD=PD:CD,
∴PD2=BD•CD,
∴PD2=AD•HD.
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