数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的

Question

数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则：
（1）△ABC的外接圆方程为___；
（2）顶点C的坐标是___．

Answer 1

：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（(2+m)/(3)，(4+n)/(3)），
代入欧拉线方程得：(2+m)/(3)-(4+n)/(3)+2=0，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中点为（1，2），k_AB=(4-0)/(0-2)=-2，
AB的中垂线方程为y-2=(1)/(2)（x-1），即x-2y+3=0．
联立

x-2y+3=0

x-y+2=0

，解得x=-1，y=1．
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（-4，0）．
△ABC的外接圆方程为（x+1）²+（y-1）²=10
故答案为：（x+1）²+（y-1）²=10；（-4，0）．