平面几何难题锐角△ABC中,AB≠AC,H为垂心,M为BC中点,D、E分别在AB、AC上,且AE=AD,D,H,E共线求证：HM平行于△ABC与△ADE的外心连线

Question

平面几何难题
锐角△ABC中,AB≠AC,H为垂心,M为BC中点,D、E分别在AB、AC上,且AE=AD,D,H,E共线
求证：HM平行于△ABC与△ADE的外心连线

Answer 1

不妨设AB记AN⊥BC与N,AH中点为Q,△ABC外心为O,链接OQ交∠BAC平分线与P.
容易证得OM∥=QH,只要证P为△ADE外心即可,只要证AP等于△ADE外接圆半径,设为r.
设OA为单位长度,则AH=2cosA,AQ=cosA.由正弦定理,可得AD=AH×sin(B+A/2)/cos(A/2),
于是r=AD/2cos(A/2)=cosA×sin(B+A/2)/cos(A/2)^2
另一方面,∠PAQ=∠PAO=A/2+B-90°.
由张角定理,可得AP=sin(A+2B)×cosA/cos(A/2+B)×2cos(A/2)^2=r,结论成立.