如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长线交AB于H．（1）求证：△CAG∽△ABC；（2）求S△AGH：S△ABC的值．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H．

（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求S_△AGH：S_△ABC的值．

Answer 1

（1）证明：如图，设GH=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；

（2）∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG=(1)/(3)CH，
∴S_△AHG=(1)/(3)S_△ACH，
∵CH为AB边上的中线，
∴S_△ACH=(1)/(2)S_△ABC，
∴S_△AHG=(1)/(3)×(1)/(2)S_△ABC，
∴S_△AGH：S_△ABC=1：6．