如图，BC是⊙O的直径，BC=42，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E点，当点A在MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A.2π3B.4π3C.8π3D.16π3

Question

如图，BC是⊙O的直径，BC=4

√(2)，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON=120°，△ABC的内心为E点，当点A在

MN

上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（　　）

A.

(2π)/(3)

B.

(4π)/(3)

C.

(8π)/(3)

D.

(16π)/(3)

Answer 1

如图，连接BE、CE，
∵∠BAC=90°，E是内心，
∴∠BEC=135°，
∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是

GH

），在⊙P上取一点M，连接BM、CM，则∠M=180°-135°=45°，∠BPC=2∠M=90°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∵BC=4√(2)，
∴PB=PC=4，
∵∠HPC=2∠HBC=∠NBC=(1)/(2)∠NOC，同理∠GPB=(1)/(2)∠MOB，
∴∠HPC+∠GPB=(1)/(2)（∠NOC+∠MOB）=30°，
∴∠GPH=60°，
∴点E运动的路径长是(60π•4)/(180)=(4)/(3)π，
故选B．