在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若OC=mOA+nOB(m，n∈R)，则m+n的取值范围为

Question

在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若

OC

=m

OA

+n

OB

(m，n∈R)，则m+n的取值范围为___．

Answer 1

设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，
∴m+n≤1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=90°
两边平方

OC

=m

OA

+n

OB

(m，n∈R)即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
∵(m2+n2)/(2)≥((m+n)/(2))2，…③，
由①②③得-√(2)≤m+n≤1．
故答案为：[-√(2)，1]