如图，已知△ABC，外心为O，BC=6，∠BAC=60°，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是．

Question

如图，已知△ABC，外心为O，BC=6，∠BAC=60°，分别以AB、AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE、CD交于点P，则OP的最小值是___．

Answer 1

∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，

AD=AB

∠DAC=∠BAE

AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC为直径的圆上，
∵△ABC的外心为O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如图，当PO⊥BC时，OP的值最小，
∵BC=6，
∴BH=CH=3，
∴OH=√(3)，PH=3，
∴OP=3-√(3)．
故答案为：3-√(3)．