在△ABC中，∠C=π4，O为外心，且有OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围

Question

在△ABC中，∠C= (π)/(4)，O为外心，且有

OC

=m

OA

+n

OB

，则m+n的取值范围是___．

Answer 1

设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，
∴m+n<1…①
∵∠C=(π)/(4)，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=(π)/(2)
两边平方

OC

=m

OA

+n

OB

，即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
∵(m2+n2)/(2)≥（(m+n)/(2)），…③，
由①②③得-√(2)≤m+n≤1
故答案为：[-√(2)，1）