已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值是．

Question

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=(2)/(a)，∠BAC=120°，若

AO

=x

AB

+y

AC

，则x+y的最小值是______．

Answer 1

如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2a，0），C（-(1)/(a)，(√(3))/(a)），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=a上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-(1)/(2a)，(√(3))/(2a)），AC的斜率为tan120°=-√(3)，
∴中垂线n的方程为 y-(√(3))/(2a)=(√(3))/(3)（x+(1)/(2a)）．
把直线 m和n 的方程联立方程组

作业帮用户 2016-12-11

问题解析

建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．

名师点评

本题考点：

向量在几何中的应用．

考点点评：

本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．

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