在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，AB•AC＝−1，若AO＝x1AB+x2AC（O是△ABC的外心），则x1+x2的值为136136．

Question

在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，

AB

•

AC

＝−1，若

AO

＝x1

AB

+x2

AC

（O是△ABC的外心），则x₁+x₂的值为

(13)/(6)

(13)/(6)

．

Answer 1

如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2，0），C（-(1)/(2)，(√(3))/(2)）．
∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=1 上，又在AC的中垂线n 上．
∵AC的中点（-(1)/(4)，(√(3))/(4)），AC的斜率为-√(3)，∴中垂线n的方程为 y-(√(3))/(4)=(√(3))/(3)（x+(1)/(4)）．
把直线m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，(2√(3))/(3)），由条件若

AO

＝x1

AB

+x2

AC

，
得（1，(2√(3))/(3) ）=x₁（2，0）+x₂（-(1)/(2)，(√(3))/(2)）=（2x₁-(1)/(2)x₂，(√(3))/(2) x₂ ），
∴2x₁-(1)/(2)x₂=1，且(√(3))/(2)x₂=(2√(3))/(3)，∴x₁ =(5)/(6)，x₂ =(4)/(3)，∴x₁+x₂=(13)/(6)，
故答案为：(13)/(6)．