如图,设△ABC的∠BAC=60°,三角形的外心为点O,内心为点I,垂心为点H,求证BCOIH五点共圆

Question

如图,设△ABC的∠BAC=60°,三角形的外心为点O,内心为点I,垂心为点H,求证BCOIH五点共圆

Answer 1

证明：延长BH交AC于E,延长CH交AB于F,
因为O是三角形的外心,∠BAC=60
所以∠BOC=2∠BAC=120°(同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍)
因为内心为点I,
所以∠BIC=180-(∠OBC+∠OCB)
=180-(∠ABC+∠ACB)/2
=180-(180-∠BAC)/2=120°,
又O,I在BC边同侧,
所以BCOI四点共圆
又垂心为点H,
所以BE⊥AC,
所以∠ABE=90,
所以∠ABE=90-∠BAC=90-60=30,
同理∠ACF=30°,
所以∠HBC+∠HCB=180-(∠BAC+∠ABE+∠ACF)=60°
所以∠BHC=180-(∠HBC+∠HCB)=180-60=120°,
又O,H在BC边同侧,
所以B,C,O,HI四点共圆
所以B,C,O,I,H五点共圆