已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：DEPF是平行四边形．

Question

已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：DEPF是平行四边形．

Answer 1

证明：如图所示，∵∠DAC是∠ACD的余角，
又∠BOA=2∠ACD，O是外心，
∴∠BAO也与∠ACD互余，
∴∠DAC=∠BAO，又∠ADC=∠AEP，
所以△ADC∽△AEP，∴AD：AE=AC：AP，
∴△ADC∽△ACP，
∴DE：CP=AD：AC=sin∠ACD，
又∠PCF=∠ACD，∴sin∠PCF=sin∠ACD=PF：CP，
∴DE：CP=PF：CP，∴DE=PF，同理可证，DF=PE，∴DEPF是平行四边形．