如图正四面体（所有棱长都相等）D-ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD=30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为（）A.277B.6-24C.32D.12

Question

如图正四面体（所有棱长都相等）D-ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD=30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为（　　）

A.

(2√(7))/(7)

B.

(√(6)-√(2))/(4)

C.

(√(3))/(2)

D.

(1)/(2)

Answer 1

由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．
过D作DO⊥平面ABC，则点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．
不妨取AB=2，则MP′=(2)/(3)×√(3)，∴AP′=√(12+((2√(3))/(3))2)=(√(21))/(3)．
sin∠P′AM=((2√(3))/(3))/((√(21))/(3))=(2√(7))/(7)．
故选：A．