已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求CB1与平面A1AB所成角的正弦值；（3）求二面角A-A1B-C的余弦值．

Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求CB₁与平面A₁AB所成角的正弦值；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

（1）∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，√(3)），B（0，2，0），
C₁（-1，0，√(3)），C（0，0，0），B₁（0，2，√(3)），
∴

A1A

=（1，0，-√(3)），

AB

=（-2，2，0），

CB1

=(0，2，√(3))，
设平面A₁AB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（1）由已知条件推导出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能够证明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CB₁与平面A₁AB所成角的正弦值．
（3）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

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