求证：椭圆的焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆（除去两顶点）．

Question

求证：椭圆的焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆（除去两顶点）．

Answer 1

证明：如图，
设椭圆的一条切线为PT，切点为P，
连结F₁P并延长到A，使|PA|=|PF₂|，
连结AF₂，
由过椭圆上一点P的切线平分△PF₁F₂的外角可知，
AF₂的中点G即为F₂在切线上的射影，
连结OG，则OG=(1)/(2)|AF1|=(1)/(2)×2a=a，
同理有F₁在切线上的射影H满足|OH|=a．
∴椭圆的焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆（除去两顶点）．