1．已知P为三角形ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影．若PA,PB,PC两两互相垂直,则O是三角形ABC的＿＿心?（为什么）2．A,B两人同时从3KM的村落中心出发,A向东走,B向北走．A进入村庄不久改

Question

1．已知P为三角形ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影．若PA,PB,PC两两互相垂直,则O是三角形ABC的＿＿心?（为什么）
2．A,B两人同时从3KM的村落中心出发,A向东走,B向北走．A进入村庄不久改变方向,沿着与村落周界相切的直线方向前进,后来恰好与B相遇．设两人速度之比为3：1,问两人在何处相遇．（要有过程）
第2题是半径为3KM 的村落

Answer 1

垂心 证：已知PA垂直BC,且PO是平面ABC的垂线,即AO是PA在平面ABC内的射影,所以由三垂线定理逆定理得：AO垂直BC,同理,BO垂直AC.综上,点o为垂线焦点,即垂心.
很明显,两人所走的轨迹构成了一个直角三角形,且该直角三角形的斜边与村落周界的圆相切
可设B所走的路程为x千米,由于两人的速度比为3:1,可知该直角三角形的另一直角边与斜边之和为3x千米
可设另一直角边的长为y千米,故斜边长为（3x-y)千米
可列出方程组为：3*（3x-y)=xy
x^2+y^2=(3x-y)^2 解得x=15/4(千米）
答：两人在正北方向距村落中心15/4千米处相遇